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quem manja de cálculo integral, dá uma olhada aqui

Ero_Seenin

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seguinte povo: estava resolvendo uns troços de física por aqui, e olhando algumas questões mais difíceis para treinar e tal. Então dei uma olhada na última prova do ITA. Lá tinha uma questão sobre um asteróide de ferro.

Não vou escrever tudo aqui porque não é necessário, mas basicamente ela fornece:

- o raio do asteroide (esferico)
- densidade do ferro.
- dizia que ele se encontra em repouso em relação a terra "quase no infinito", ou seja, muito longe, sem especificar uma distância certa.

Pede então para calcular a energia liberada em um impacto desse asteróide com a Terra.

OK, então pensei primeiro que se trata de uma questão de energia potencial gravitacional. E = mgh. A massa pode ser calculada facilmente pelos dados do problema e pela fórmula de volume da esfera.

A altura seria o "quase infinito" colocado no problema.
Mas o problema está no valor de "g", pois ele não é constante nesse caso. G=10 apenas na superfície do planeta, na medida que se afasta dele, "g" diminui de acordo com a fórmula:

g= (G * M) / D^2

sendo G a constante gravitação universal, M a massa da terra, D a distância até o centro da Terra.

Então, o problema é o seguinte: g varia. No começo, onde o asteroide está "quase no infinito", ela tende a zero. Na medida que se aproxima da Terra, aumenta, até chegar a 10 (no momento do impacto).

Deduzi que se traçar um gráfico de "g" em função da distância, ele seria uma curva que obedece a essa função:

f(x) = 10 / (x^2)

sendo x a distância medida em uma unidade onde o raio da terra vale "1".

OK, pela fórmula de energia potencial, multiplicamos a massa por "gh". No gráfico de g em função da distância, a área sobre a curva é o produto gh. Preciso então calcular a área sobre essa curva no intervalo de 1 até o infinito.

Só que... não me ensinaram integral/derivada na facul. Até sei um pouco por conta própria, e poderia calcular se a função fosse 10 * x^2 com um intervalo que não fosse o infinito, porém nesse caso, a função é 10/ x^2, ou seja 10 multiplicado pelo inverso de x^2, com intervalo até o infinito. Isso muda o modo como se calcula, ( acho ), e queria uma explicação de alguém aí de como se faz isso.

Sim, só por curiosidade mesmo, porque não preciso realmente aprender integral/derivada. E para conferir se o meu método de resolução está correto.

Nerdões do fórum, bora aí ajudar. :kpensa
 


Zilhu

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Eu li "quem manja de cálculo renal, dá uma olhada aqui"
Vim preparado pra contar sobre o triste dia que sofri de um no meio do metrô :kforever.
 

Haagenti

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olha cara pra resolve vc precisa acreditar apenas em vc mesmo pq a pessoa que acredita nela msma tudo pode e tudo vence
fikdik ai amg
abraçao
 

Francys

Bam-bam-bam
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seguinte povo: estava resolvendo uns troços de física por aqui, e olhando algumas questões mais difíceis para treinar e tal. Então dei uma olhada na última prova do ITA. Lá tinha uma questão sobre um asteróide de ferro.

Não vou escrever tudo aqui porque não é necessário, mas basicamente ela fornece:

- o raio do asteroide (esferico)
- densidade do ferro.
- dizia que ele se encontra em repouso em relação a terra "quase no infinito", ou seja, muito longe, sem especificar uma distância certa.

Pede então para calcular a energia liberada em um impacto desse asteróide com a Terra.

OK, então pensei primeiro que se trata de uma questão de energia potencial gravitacional. E = mgh. A massa pode ser calculada facilmente pelos dados do problema e pela fórmula de volume da esfera.

A altura seria o "quase infinito" colocado no problema.
Mas o problema está no valor de "g", pois ele não é constante nesse caso. G=10 apenas na superfície do planeta, na medida que se afasta dele, "g" diminui de acordo com a fórmula:

g= (G * M) / D^2

sendo G a constante gravitação universal, M a massa da terra, D a distância até o centro da Terra.

Então, o problema é o seguinte: g varia. No começo, onde o asteroide está "quase no infinito", ela tende a zero. Na medida que se aproxima da Terra, aumenta, até chegar a 10 (no momento do impacto).

Deduzi que se traçar um gráfico de "g" em função da distância, ele seria uma curva que obedece a essa função:

f(x) = 10 / (x^2)

sendo x a distância medida em uma unidade onde o raio da terra vale "1".

OK, pela fórmula de energia potencial, multiplicamos a massa por "gh". No gráfico de g em função da distância, a área sobre a curva é o produto gh. Preciso então calcular a área sobre essa curva no intervalo de 1 até o infinito.

Só que... não me ensinaram integral/derivada na facul. Até sei um pouco por conta própria, e poderia calcular se a função fosse 10 * x^2 com um intervalo que não fosse o infinito, porém nesse caso, a função é 10/ x^2, ou seja 10 multiplicado pelo inverso de x^2, com intervalo até o infinito. Isso muda o modo como se calcula, ( acho ), e queria uma explicação de alguém aí de como se faz isso.

Sim, só por curiosidade mesmo, porque não preciso realmente aprender integral/derivada. E para conferir se o meu método de resolução está correto.

Nerdões do fórum, bora aí ajudar. :kpensa
Então cara, é assim:

Na integral, você pode tirar a constante e multiplicar depois.
Integral de 10/X^2 é a mesma coisa que 10* Integral de(1/x^2).

Vai ficar 10 vezes a integral de 1/x^2.

Integral de 1/x^2 = -1/x dx.
10* (-1/x dx)= -10/x dx
Resposta = -10/x DX
 

Haagenti

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Então cara, é assim:

Na integral, você pode tirar a constante e multiplicar depois.
Integral de 10/X^2 é a mesma coisa que 10* Integral de(1/x^2).

Vai ficar 10 vezes a integral de 1/x^2.

Integral de 1/x^2 = -1/x dx.
10* (-1/x dx)= -10/x dx
Resposta = -10/x DX
vc manja ein cara, faz oq da vida alem de nao comer mulheres?
 

Silent Len

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Intervalo de integração com infinito é a chamada integral imprópria. Nem precisei enrolar muito, fazendo rapidinho aqui deu 10, usando a função que você deduziu.
 


Francys

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Intervalo de integração com infinito é a chamada integral imprópria. Nem precisei enrolar muito, fazendo rapidinho aqui deu 10, usando a função que você deduziu.
Realmente, dá 10 no final de tudo.

Você jogaria primeiro o maior valor na função acima (no caso, infinito) e depois jogaria o menor valor(no caso, 1).
E subtrairia um do outro.

-10/x quando x tende a infinito = 0
-10/x quando x tende a 1 = -10

0 - (-10) = 10
 

~San

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Não sei se pode fazer assim não, posso estar viajando mas acho que é assim:
Ah, acho que errei colocando de infinito até 0 , acho que é o contrário, só o que muda é que no final fica positivo ao invés de negativo.
 

VinceVega

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Já fui bom nisso.

Agora que terminei a faculdade já posso usar calculadora.
 

Ero_Seenin

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OK, deu uma olhada em uma resolução da questão, e realmente o resultado bateu com esse método, fazendo que a área seria 10.

O curioso é que o método que usaram não tem nada a ver com integral... e nem entendi muito bem o que fizeram.

Mas enfim, usando a integral deu o mesmo resultado.

Como o valor da área é 10, na equação E=mgh :

E=m*10

sendo g=10 (coincidência?), então h=1

como fiz que 1 seria o raio da terra, então substitui o 1 na equação pelo raio da terra, e o resultado bate certinho na conta deles.
 

Sundayrose

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me desculpem a ignorância, mas o criador do tópico disse ultima prova do ita, então deduzi que seja o vestibular. Mas se for vestibular não é meio estranho que a questão seja resolvida com conteúdo que não é estudado no ensino médio? Bom pelo menos na época, isso não era ensinado no segundo grau.
 

pescadorparrudo

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no passado (até a década de 70 mahomenos), a matemática do ensino médio chegava a integral e derivada.
 

Falconete

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Essa questão NÃO precisa de cálculo diferencial pelo que eu entendi.

Basicamente, para calcular o trabalho (variação de energia), vc de fato faz uma integral de linha. Porém, a força em questão é conservativa, logo, para saber a variação de energia, vc só precisa fazer uma diferença da energia potencial entre os dois pontos. Nesse caso, vc calcula a diferença de energia potencial com o raio da terra e com a distância no infinito (r ~infinito).
Por exemplo:
Energia potencial gravitacional:
U = -k/r

Note que isto conduzirá vc ao que os colegas fizeram acima.
 

Geo

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Então cara, é assim:

Na integral, você pode tirar a constante e multiplicar depois.
Integral de 10/X^2 é a mesma coisa que 10* Integral de(1/x^2).

Vai ficar 10 vezes a integral de 1/x^2.

Integral de 1/x^2 = -1/x dx.
10* (-1/x dx)= -10/x dx
Resposta = -10/x DX
Faltou só a constante. Depois que você integra, surge uma constante. A resposta em rigor seria -10/x + C. E depois que você integra a diferença infinitesimal da variável sendo integrada (dx) deixa de existir, pois você as integrou.
 

Geo

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Essa questão NÃO precisa de cálculo diferencial pelo que eu entendi.

Basicamente, para calcular o trabalho (variação de energia), vc de fato faz uma integral de linha. Porém, a força em questão é conservativa, logo, para saber a variação de energia, vc só precisa fazer uma diferença da energia potencial entre os dois pontos. Nesse caso, vc calcula a diferença de energia potencial com o raio da terra e com a distância no infinito (r ~infinito).
Por exemplo:
Energia potencial gravitacional:
U = -k/r

Note que isto conduzirá vc ao que os colegas fizeram acima.
Mas o problema é que g também é função da altura. Seu raciocínio se aplica a alturas pequenas, cuja variação de g é desprezível. O problema do asteroide envolve distâncias astronômicas, com g variando substancialmente, daí a necessidade de integrar. Acho que deu certo por coincidência.
 

Huenyan

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Tive prova de integral sexta, me fodi, semestre que vem é nois no calculo 2 de novo.
Fiquei até meio noiado depois da prova, fui ligar pra um amigo e liguei pra mim mesmo. Demorei uns 15s pra notar isso. :facepalm
 

Ero_Seenin

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valeu pela ajuda povo.

usando a integral funciona, como disse, a conta bateu certinho. Mas parece que também dá pra resolver sem usar integral, vi esse método aqui em um site:



por esse método foi dado que a energia potencial em situação em que g varia é dada por:

E = G * m * M / R

ou seja, é basicamente a equação da gravidade, só que ao invés de dividir por d^2 (distância ao quadrado), divide-se por R, sendo R o raio da Terra.

só não saquei de onde veio essa dedução aí...

seguindo essa fórmula, eles deduziram que E = m * g * R

Essa equação também se consegue usando a integral, como eu coloquei no post acima, pois a área sobre a curva no cálculo da integral é 10, logo o produto g * r pode ser dado por 10 * 1, sendo 1=raio da terra.

os dois jeitos funcionam, mas realmente não sei de onde tiraram essa expressão de que E=G*M*m/R ...... eu não conhecia essa equação para cálculo de potencial gravitacional, só sabia da expressão E = mgh. Imagino que seja isso que o Falconete quis dizer.
 

~San

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valeu pela ajuda povo.

usando a integral funciona, como disse, a conta bateu certinho. Mas parece que também dá pra resolver sem usar integral, vi esse método aqui em um site:



por esse método foi dado que a energia potencial em situação em que g varia é dada por:

E = G * m * M / R

ou seja, é basicamente a equação da gravidade, só que ao invés de dividir por d^2 (distância ao quadrado), divide-se por R, sendo R o raio da Terra.

só não saquei de onde veio essa dedução aí...

seguindo essa fórmula, eles deduziram que E = m * g * R

Essa equação também se consegue usando a integral, como eu coloquei no post acima, pois a área sobre a curva no cálculo da integral é 10, logo o produto g * r pode ser dado por 10 * 1, sendo 1=raio da terra.

os dois jeitos funcionam, mas realmente não sei de onde tiraram essa expressão de que E=G*M*m/R ...... eu não conhecia essa equação para cálculo de potencial gravitacional, só sabia da expressão E = mgh. Imagino que seja isso que o Falconete quis dizer.

Deduzi essa equação aí pela integral que eu mostrei uns posts atrás, acho que deve ser mais uma fórmula que sai de integral e eles colocam só a fórmula pra não precisar ensinar diferencial pra pessoas do ensino médio.
 

JeanJacquesRosseau

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Depois de me fuder lindamente na prova de física 3 essa semana, sabe quando eu quero ver física denovo ? NUNCA
 

Ero_Seenin

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Sugiro que vc estude a parte de gravitação newtoniana, pois qualquer material didático decente fala sobre energia potencial.

Neste link está basicamente o que eu disse (e outros confrades mostraram por cálculo) :
http://pt.wikipedia.org/wiki/Energia_potencial_gravitacional

sem querer ser arrogante, mas eu entendo perfeitamente tudo da física newtoniana, inclusive gravitação. Só não sabia que havia essa expressão para cálculo da potencial em situações onde g não é constante.

claro... é óbvio que deveria ter uma expressão já pronta para esse fim, eu apenas nunca tinha visto um exercício que usasse ela.
 

Damyen

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Me senti 10x mais burro com esse tópico.

Vão se foderem
 

Falconete

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sem querer ser arrogante, mas eu entendo perfeitamente tudo da física newtoniana, inclusive gravitação. Só não sabia que havia essa expressão para cálculo da potencial em situações onde g não é constante.
Sem querer ofender, mas se vc não conhecia o potencial gravitacional, então deve estar longe de entender 'perfeitamente tudo da física newtoniana'. Eu mesmo, nunca digo que sei perfeitamente tudo sobre algo.

abraços.
 

Baneman

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Deduzi essa equação aí pela integral que eu mostrei uns posts atrás, acho que deve ser mais uma fórmula que sai de integral e eles colocam só a fórmula pra não precisar ensinar diferencial pra pessoas do ensino médio.
Todas as formulas vem de uma integral, mais é a integral vem da onde?
 

Negresco Newton

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sem querer ser arrogante, mas eu entendo perfeitamente tudo da física newtoniana, inclusive gravitação. Só não sabia que havia essa expressão para cálculo da potencial em situações onde g não é constante.

claro... é óbvio que deveria ter uma expressão já pronta para esse fim, eu apenas nunca tinha visto um exercício que usasse ela.
Isso sai da união entre a energia potencial e a lei da gravitação de Newton (no caso, minha):

F=G m.M / R²

Substituindo F pela força peso:

m.g = G m.M/R²
g=G M/R²

colocando esse g na Energia potencial e chamando a altura de R, fica E = G * m * M / R
 

Baneman

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Negada me ajuda.
A equação X/X-1 tende a 1 certo? (4/5=1.2 10/9=1.11111)
Então ∞/∞-1 pela logica seria 1, ta certa essa conta?

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pescadorparrudo

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Que eu saiba era limite e derivada. E ate hj algumas escolas particulares ainda ensinam no terceiro ano.

Tem razão, era limite e derivada!

o que já é mais do que o "roiz com fejaum" chamado regra de três que a maioria dos jovens de hoje não sabe fazer.:lolwtf
 

Ero_Seenin

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Negada me ajuda.
A equação X/X-1 tende a 1 certo? (4/5=1.2 10/9=1.11111)
Então ∞/∞-1 pela logica seria 1, ta certa essa conta?

Enviado de meu XT910 usando Tapatalk 4

acredito que sim.

mas acho que não pode afirmar que seria 1, e sim que tende a 1. Infinito não é um número, é uma ideia, e portanto operações que envolvem infinito não podem dar valores numéricos reais. Isso pode causar alguns paradoxos, como a divisão por zero.

No caso da divisão por exemplo, quando o denominador da fração tende a zero, o resultado da divisão tende ao infinito, mas isso não significa que dividir por zero seja igual a infinito, a divisão por zero é indefinida.
 
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